Chương 01 - Cổng Căn và dấu vết bị mất

 

Cổng Căn và dấu vết bị mất

Người vận hành Máy Bình Phương nhìn hai tờ phiếu:

3 → 9

−3 → 9

Ông chợt nhận ra một chuyện.

Số 3 đi qua máy, trở thành 9. Số −3 đi qua máy, cũng trở thành 9.

Như vậy, chỉ nhìn số 9 ở cửa ra, không ai còn biết chắc lúc đầu nó là 3 hay −3.

Nhưng mọi người vẫn nghĩ:

- Không sao. Chúng ta chỉ cần xây một chiếc máy đi ngược lại.

Họ đặt tên chiếc máy mới là Máy Căn.

Người thợ lấy số 9 đặt vào máy. Nhưng ông chưa kịp bấm nút thì số −3 chạy tới.

- Khoan đã!

Người thợ: Có chuyện gì vậy?

Số −3: Trước khi thành 9, cháu là −3.

Người thợ gật đầu.

- Đúng.

Số −3: Vậy nếu Máy Căn là máy đi ngược Máy Bình Phương, cháu muốn đi qua nó để trở lại −3.

Người thợ nhìn chiếc máy. Rồi nhìn số 9.

Ông bắt đầu thấy vấn đề.

Nếu cho:

9 → 3

thì số 3 trở lại đúng như ban đầu. Nhưng số −3 lại trở thành 3.

Nếu cho:

9 → −3

thì số −3 trở lại đúng như ban đầu. Nhưng lúc này số 3 lại biến thành −3.

Không có cách nào để chiếc máy nhìn vào số 9 mà biết nó từng là ai. Bởi vì cả hai đều giống hệt nhau sau khi đi qua Máy Bình Phương.

Một người thợ già nói:

- Có lẽ vấn đề không nằm ở Máy Căn. Vấn đề đã xảy ra từ trước rồi.

Ông quay lại Máy Bình Phương. Ông viết:

   3 → 9

−3 → 9

- Máy Bình Phương đã xóa mất một phần thông tin.

Số −3: Thông tin gì?

Người thợ già: Dấu của cháu.

Trước khi vào máy, 3 và −3 khác nhau. Sau khi ra khỏi máy, cả hai đều chỉ còn là 9.

Máy Căn có thể đi ngược phép tính. Nhưng nó không thể biết lại một thông tin đã biến mất.

Số −3 lo lắng.

- Vậy cháu không bao giờ trở lại được nữa sao?

Người thợ già: Có chứ. Nhưng chúng ta phải nhớ dấu của cháu.

Ông lấy một tấm thẻ nhỏ, viết lên đó:

−

Rồi đưa cho số −3.

- Trước khi cháu đi qua Máy Bình Phương, chúng ta giữ lại tấm thẻ này.

Số −3 bước vào:

−3 → 9

Ở đầu bên kia chỉ còn số 9. Nhưng người thợ vẫn giữ tấm thẻ:

−

Bây giờ 9 đi qua Máy Căn:

9 → 3

Người thợ lấy tấm thẻ dấu âm đặt trở lại:

−3

Số −3 reo lên:

- Cháu trở lại rồi!

Người thợ gật đầu.

- Đúng. Máy Căn tìm lại độ lớn ban đầu của cháu. Còn muốn biết cháu ở phía dương hay phía âm, chúng ta phải có thêm thông tin về dấu.

Số 3 bước tới.

- Còn cháu thì sao?

Người thợ già: Cháu không cần tấm thẻ âm.

Số 3 đi qua Máy Bình Phương:

3 → 9

Số 9 đi qua Máy Căn:

9 → 3

Số 3 trở lại nguyên vẹn.

Mọi người lúc ấy mới hiểu vấn đề thật sự.

Máy Căn không thể tự quyết định rằng số 9 trước đây là 3 hay −3. Nó không biết. Không ai có thể biết chỉ từ số 9.

Vì thông tin ấy đã bị Máy Bình Phương làm mất.

Thành phố vì thế phải thống nhất một cách làm.

Máy Căn sẽ luôn trả về độ lớn không âm:

9 → 3

25 → 5

100 → 10

Nếu số ban đầu là số âm, dấu âm phải được giữ lại hoặc được tìm từ những thông tin khác.

Nhưng số −3 vẫn còn một câu hỏi.

- Tại sao máy lại chọn 3 làm kết quả chuẩn? Tại sao không chọn −3, rồi số 3 mới là người phải mang thẻ cộng?

Người thợ già cười.

- Thực ra, nếu cả thành phố cùng thống nhất từ đầu, chúng ta có thể thiết kế một ký hiệu khác để luôn chọn phía âm. Nhưng hãy nhìn xem chúng ta đang tìm thứ gì.

Ông vẽ một đoạn thẳng dài 3 ô.

- Độ dài của nó là 3.

Ông vẽ một hình vuông có cạnh 3 ô.

- Diện tích của nó là 9. Muốn biết cạnh dài bao nhiêu từ diện tích 9, ta tìm 3.

Rồi ông chỉ lên dãy số:

−3 −2 −1 0 1 2 3

- Dấu âm cho chúng ta biết một số nằm về phía nào so với 0, hoặc một đại lượng đang mang hướng ngược lại. Còn khi chỉ cần nói đến độ lớn, chúng ta dùng số không âm.

- Vì vậy thành phố chọn phía không âm làm kết quả chuẩn của Máy Căn.

Ông viết lên cổng:

√9 = 3

Rồi bên cạnh viết:

−√9 = −3

Số −3 nhìn hai dòng chữ.

- Vậy dấu căn không nói cháu từng là ai?

Người thợ già: Đúng.

Số −3: Nó chỉ lấy 9 và tìm ra độ lớn 3?

Người thợ già: Đúng.

Số −3: Muốn quay lại đúng cháu, còn phải biết dấu âm?

Người thợ già: Chính xác.

Người thợ viết thêm:

−√9 = −3

Rồi ông viết một trường hợp khác:

x² = 9

- Còn nếu chúng ta không biết ban đầu là ai và muốn tìm tất cả những người có thể đã bước vào Máy Bình Phương thì sao?

Số −3 trả lời ngay: 

3 hoặc −3!

Người thợ già: Đúng.

Ông viết:

x = ±3

Bây giờ thành phố đã có ba câu hỏi khác nhau.

√9 bằng bao nhiêu?

3

−√9 bằng bao nhiêu?

−3

Số nào có thể đã bình phương thành 9?

3 hoặc −3

Không còn ai nhầm lẫn giữa chúng nữa.

Trước khi đóng cửa xưởng, người thợ già treo lên tường một tấm biển:

Một phép biến đổi có thể làm mất thông tin.

Đi ngược phép tính không có nghĩa là tự nhiên lấy lại được thông tin đã mất.

Muốn hoàn nguyên chính xác, phải giữ lại những gì phép biến đổi đã làm mất.

Số −3 đọc tấm biển rồi cười.

Bây giờ cậu đã hiểu.

Căn thực sự là con đường đi ngược của bình phương. Nhưng bình phương đã khiến 3 và −3 trở nên giống nhau.

Cổng Căn có thể đưa 9 trở về 3 — gốc không âm được thành phố chọn làm chuẩn.

Còn muốn trở về đúng −3, phải mang theo điều mà Máy Bình Phương đã làm mất:

dấu âm.